Tag: pi

Taart vandaag: pi-dag!

Ter gelegenheid van Pi-dag liet ik Chat GPT een tekst schrijven, en zoals gewoonlijk goot die babbelbox mijn scherm vol letters. Maar er werd beweerd dat de Oud-Egyptenaren pi gebruikten bij de bouw van piramiden, al zitten daarin alleen driehoeken en vierkanten. Waarom zouden ze daarvoor pi gebruiken? Zoals gewoonlijk was de kletsfabriek verdwaald in de massa’s tekst op internet, en had ze ergens een verkeerd verband gelegd tussen samen voorkomende woorden. Er stond nog een massa andere gegevens in het stukje, maar dat allemaal controleren zou me gewoon meer tijd kosten dan zelf iets schrijven.

Inderdaad blijkt uit het Rhind-papyrus dat de Egyptenaren wel het een en ander afwisten van zowel pi als van rechthoeken en driehoeken. Dat papyrus ontstond ongeveer 2000 jaar voor onze jaartelling, dus zowat 4000 jaar geleden. Daarop verzamelde de Egyptische schrijver Ahmes of Ahmose (ongeveer 1680-1620) een groot aantal wiskundige problemen en hun oplossingen. Hij merkte zelf op dat hij een document had gebrukt dat nog 200 jaar eerder zou zijn opgesteld. Andere, minder uitgebreide bronnen van Oud-Egyptische wiskunde zijn de Moskou-papyrus, de Kahun-papyrus en de Berlijn-papyrus.

Daaruit blijkt dat de Egyptische samenleving in eeuwen van relatief stabiel bestuur een samenhangend systeem van getallen en rekenen met getallen wist op te bouwen, maar de meeste problemen vermeld in die teksten zijn erg praktisch van aard. De wiskunde van de Oude Egyptenaren is vooral toegepaste rekenkunde. En die toepassingen waren op de dagelijkse praktijk gericht, zoals het verdelen van hoeveelheden en het bepalen van oppervlakte en inhoud.

Hun meetkundige kennis ontleenden de Egyptenaren dus aan de praktijk. Ze wisten bijvoorbeeld dat de oppervlakte van een rechthoek gelijk was aan de lengte maal de breedte. Ook konden ze de oppervlakte van een driehoek berekenen.

Interessant voor vandaag is dat ze de oppervlakte van een cirkel berekenden met behulp van de diameter. Dat deden ze door 8/9 van de lengte te kwadrateren, wat ongeveer overeenkomt met een pi-waarde van 3,16, wat hoe dan ook sterk afwijkt van 3,14159. Met hun kennis van oppervlaktesommen konden ze volumes berekenen van cilinders en piramides. Dat gebeurde met reeksen van kleine rekensommen.

In vergelijking met onze huidige kennis is die van de Egyptenaren erg beperkt, en onze 6e-jaarsleerlingen uit het basisonderwijs komen verder, ook met pi.

De pîn die we als illustratie gebruikten, verschijnt ter gelegenheid van de Pi-race. Meer daarover hier.

14 maart: π-dag!

In 1706 werd De Griekse letter π voor de eerste keer door William Jones gebruikt om het getal PI weer te geven.

Dat is de verhouding van de doorsnede van een cirkel tot de omtrek van de cirkel. Het is ongeveer gelijk aan 3,14159.

Het is pas sinds het midden van de 18e eeuw dat het gebruikelijk is om die verhouding met de Griekse letter “π” weer te geven.

De wiskundige William Jones uit Wales gebruikte het teken in zijn boek “Synopsis Palmariorum Matheseos” voor de eerste keer. Het was de afkorting van het Grieks woord “περιϕέρεια”, dat “periferie” of “omtrek” betekent.

Weetjes worden vaak pas echt interessant als je wat verder denkt.

De formule om de omtrek van een cirkel te berekenen, en in het verlengde daarvan het oppervlak ervan, net als het oppervlak en het volume van een bol, is geen formule die een duidelijk antwoord geeft: het is niet meer dan een benadering, handig gecamoufleerd doordat de constante van Archimedes wegmoffelt dat het geen exact bekend getal is.

Ook in de formules voor een ellips zit PI. Ook daarvan kunnen we dus de omtrek niet precies berekenen.

Aangezien pi een oneindig, niet-herhalend decimaal getal is, komt elke mogelijke combinatie van cijfers erin voor. Als je die cijfers omzet in een reeks nullen en enen, dus in een binaire reeks, en dat als een code beschouwt die je kunt omzetten in informatie, dan komt in PI alles voor wat was, is en zal zijn.

Maar hoe zit dat dan met bollen in de natuur? En met de meest mysterieuze bol die de natuur kent: een zwart gat? Als PI het onmogelijk maakt de omtrek van een cirkel met een gegeven diameter te berekenen, is er dan in de natuur geen merkwaardige breuk tussen cirkels en hun diameter?

Nee, omdat er in de natuur geen perfecte cirkels of bollen voorkomen.

Er komen dus ook geen perfect bolvormige zwarte gaten voor.

Ook iets om eens over na te denken.

Donderdag, 14 maart 2019: PI-DAG!

circle

Dit is niet perfect.

Donderdag, 14 maart 2019: PI-DAG!

Het is die dag van het jaar dat we nadenken over het feit dat de straal van een cirkel niet in een deelbaar aantal delen over de omtrek kan worden gelegd.

Anders gezegd: er bestaat geen getal waarmee je de straal kunt vermenigvuldigen om de omtrek van de cirkel te krijgen.

Op 14 maart 2019 zette Emma Haruka Iwao een record: zij berekende meer dan 31,4 biljoen cijfers achter de komma van pi. Om precies te zijn: 31.415.926.535.897 cijfers.  Ze rekende eraan van september 2018 tot januari 2019.

New Scientist schrijft dat NASA slechts 15 decimalen gebruikt om met pi de baan van raketten te berekenen en voor metingen aan het universum zijn er maar 40 cijfers achter de komma nodig.
Hier is een lijst van rekenopdrachten waarbij NASA pi nodig heeft.

De cijfers van pi zijn echter wel van belang voor het coderen van boodschappen. Voor onze privacy dus. Of om bedrijfsgeheimen te bewaren. Of  staatsgeheimen.

Maar nog veel interessanter zijn de fysieke implicaties van die vaststelling, want het betekent dat er niets bestaat dat perfect cirkelvormig is.

Dat betekent ook dat het meest extreme voorwerp van het heelal ook niet perfect rond is: de gebeurtenissenhorizon van een zwart gat is geen perfecte bol.

En omdat die gebeurtenissenhorizon wordt veroorzaakt door de singulariteit in de kern, zou je kunnen stellen dat “rondheid” geen kenmerk van die singulariteit kan zijn, omdat het nu eenmal een singulariteit is.

Maar die singulariteit heeft wel effect op de omringende omgeving, o.a. door de zwaartekracht, en die zwaartekracht moet zich in principe bolvormig uitstrekken. En aangezien perfecte cirkels in het heelal niet bestaan, moet er dus iets aan de hand zijn om die gebrekkige rondheid die ontstaat uit de singularieit te verklaren.

Ofwel is de singulariteit niet perfect bolvormig, in welk geval ze onstabiel zou kunnen zijn.
Ofwel onttrekt ze zich aan de fysica-wetten van ons heelal, waardoor ze dus buiten ons heelal zou kunnen liggen.

Maar ik gok op de eerste mogelijkheid: de singulariteit is in de grond instabiel, en dat zou kunnen blijken uit de Hawking-straling, die o.a. wordt gebruikt om aan te tonen dat een zwart gat na biljoenen jaren gewoon … vervliegt.